Penggunaan dan batas volatilitas

Investor suka fokus pada janji pengembalian yang tinggi, tetapi mereka juga harus bertanya berapa banyak risiko yang harus mereka tanggung sebagai imbalan atas pengembalian ini. Meskipun kita sering berbicara tentang risiko dalam pengertian umum, ada juga ekspresi formal dari hubungan risiko-penghargaan.

Misalnya, rasio Sharpe mengukur pengembalian berlebih per unit risiko, di mana risiko dihitung sebagai volatilitas, yang merupakan ukuran risiko tradisional dan populer. Properti statistiknya terkenal dan dimasukkan ke dalam beberapa kerangka kerja, seperti teori portofolio modern dan model Black-Scholes. Dalam artikel ini, kami memeriksa volatilitas untuk memahami kegunaannya dan batasannya.

Apa Penggunaan dan batas volatilitas?

Tidak seperti volatilitas tersirat — yang termasuk dalam teori penetapan harga opsi dan merupakan perkiraan berwawasan ke depan berdasarkan konsensus pasar — ​​volatilitas reguler terlihat ke belakang. Secara khusus, ini adalah deviasi standar tahunan dari pengembalian historis .

Kerangka risiko tradisional yang mengandalkan deviasi standar umumnya mengasumsikan bahwa pengembalian sesuai dengan distribusi normal berbentuk lonceng. Distribusi normal memberi kita pedoman praktis: sekitar dua pertiga waktu (68,3%), pengembalian harus berada dalam satu standar deviasi (+/-); dan 95% dari waktu tersebut, pengembalian harus berada dalam dua deviasi standar. Dua kualitas grafik distribusi normal adalah “ekor” kurus dan simetri sempurna. Ekor kurus menyiratkan kejadian yang sangat rendah (sekitar 0,3% dari waktu) pengembalian yang lebih dari tiga standar deviasi dari rata-rata. Simetri menyiratkan bahwa frekuensi dan besarnya keuntungan naik adalah cerminan dari kerugian sisi bawah .

Akibatnya, model tradisional memperlakukan semua ketidakpastian sebagai risiko, apa pun arahnya. Seperti yang telah ditunjukkan banyak orang, itu masalah jika pengembalian tidak simetris – investor khawatir tentang kerugian mereka “di sebelah kiri” rata-rata, tetapi mereka tidak khawatir tentang keuntungan di sebelah kanan rata-rata.

Kami mengilustrasikan keanehan ini di bawah ini dengan dua saham fiksi. Stok yang jatuh (garis biru) sama sekali tanpa dispersi dan oleh karena itu menghasilkan volatilitas nol, tetapi saham yang naik — karena menunjukkan beberapa guncangan naik tetapi tidak satu pun penurunan — menghasilkan volatilitas (deviasi standar) 10%.

Properti Teoritis

Misalnya, saat kami menghitung volatilitas untuk indeks S&P 500 per 31 Januari 2004, kami mendapatkan mulai dari 14,7% hingga 21,1%. Mengapa rentang seperti itu? Karena kita harus memilih interval dan periode sejarah. Berkenaan dengan interval, kami dapat mengumpulkan serangkaian pengembalian bulanan, mingguan atau harian (bahkan intra-harian). Dan rangkaian pengembalian kami dapat diperpanjang kembali selama periode historis dengan durasi berapa pun, seperti tiga tahun, lima tahun, atau 10 tahun. Di bawah ini, kami telah menghitung deviasi standar pengembalian untuk S&P 500 selama periode 10 tahun, menggunakan tiga interval berbeda:

Perhatikan bahwa volatilitas meningkat seiring dengan peningkatan interval, tetapi tidak hampir proporsional: mingguan tidak hampir lima kali lipat jumlah harian dan bulanan tidak hampir empat kali lipat mingguan. Kita telah sampai pada aspek kunci teori jalan acak : skala deviasi standar (peningkatan) sebanding dengan akar kuadrat waktu. Oleh karena itu, jika deviasi standar harian adalah 1,1%, dan jika ada 250 hari perdagangan dalam setahun, standar deviasi tahunan adalah standar deviasi harian 1,1% dikalikan dengan akar kuadrat 250 (1,1% x 15,8 = 18,1%). Mengetahui hal ini, kita dapat menghitung simpangan baku interval untuk S&P 500 dengan mengalikan dengan akar kuadrat dari jumlah interval dalam satu tahun:

Sifat teoritis lain dari volatilitas mungkin atau mungkin tidak mengejutkan Anda: itu mengikis pengembalian. Hal ini disebabkan oleh asumsi utama dari ide jalan acak: pengembalian tersebut diekspresikan dalam persentase. Bayangkan Anda mulai dengan $ 100 dan kemudian mendapatkan 10% untuk mendapatkan $ 110. Kemudian Anda kehilangan 10%, yang memberi Anda $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Kemudian Anda mendapatkan 10% lagi, menjadi $ 108,90 ($ 99 x 110% = $ 108,9). Akhirnya, Anda kehilangan 10% menjadi $ 98,01 bersih. Ini mungkin kontra-intuitif, tetapi prinsipal Anda perlahan-lahan terkikis meskipun keuntungan rata-rata Anda 0%!

Jika, misalnya, Anda mengharapkan perolehan tahunan rata-rata 10% per tahun (yaitu, rata-rata aritmatika), ternyata keuntungan yang diharapkan dalam jangka panjang adalah kurang dari 10% per tahun. Faktanya, itu akan berkurang sekitar setengah varians (di mana varians adalah standar deviasi kuadrat). Dalam hipotesis murni di bawah ini, kita mulai dengan $ 100 dan kemudian membayangkan volatilitas selama lima tahun berakhir dengan $ 157:

Pengembalian tahunan rata-rata selama lima tahun adalah 10% (15% + 0% + 20% – 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), tetapi tingkat pertumbuhan tahunan gabungan (CAGR, atau pengembalian geometris) adalah ukuran yang lebih akurat dari keuntungan yang direalisasikan , dan hanya 9,49%.Volatilitas mengikis hasilnya, dan perbedaannya sekitar setengah dari varian 1,1%.Hasil ini bukan dari contoh historis, tetapi dalam hal ekspektasi, dengan standar deviasiσ\ sigmaσ (varians adalah kuadrat deviasi standar),σ2\ sigma ^ {2}σ2 dan keuntungan rata-rata yang diharapkan sebesarμ\ muμ pengembalian tahunan yang diharapkan kira-kiraμ-(σ2÷2).\ mu – (\ sigma ^ 2 \ div2).μ-(σ2÷2).

Apakah Pengembalian Berperilaku Baik? Kerangka teoritis tidak diragukan lagi elegan, tetapi itu tergantung pada pengembalian yang berperilaku baik. Yakni, distribusi normal dan random walk (yaitu kemandirian dari satu periode ke periode berikutnya). Bagaimana ini dibandingkan dengan kenyataan? Kami mengumpulkan pengembalian harian selama 10 tahun terakhir untuk S&P 500 dan Nasdaq di bawah ini (sekitar 2.500 observasi harian):

Seperti yang Anda perkirakan, volatilitas Nasdaq (deviasi standar tahunan 28,8%) lebih besar daripada volatilitas S&P 500 (deviasi standar tahunan sebesar 18,1%). Kita dapat mengamati dua perbedaan antara distribusi normal dan pengembalian aktual. Pertama, pengembalian aktual memiliki puncak yang lebih tinggi – yang berarti jumlah pengembalian yang lebih besar mendekati rata-rata. Kedua, keuntungan aktual memiliki ekor yang lebih gemuk. (Temuan kami agak selaras dengan studi akademis yang lebih luas, yang juga cenderung menemukan puncak tinggi dan ekor gemuk; istilah teknis untuk ini adalah kurtosis ). Katakanlah kita menganggap minus tiga standar deviasi sebagai kerugian besar: S&P 500 mengalami kerugian harian minus tiga standar deviasi sekitar -3,4% dari waktu. Kurva normal memperkirakan kerugian seperti itu akan terjadi sekitar tiga kali dalam 10 tahun, tetapi sebenarnya terjadi 14 kali!

Ini adalah distribusi pengembalian interval terpisah, tetapi apa yang dikatakan teori tentang pengembalian dari waktu ke waktu? Sebagai ujian, mari kita lihat distribusi harian aktual dari S&P 500 di atas. Dalam hal ini, pengembalian tahunan rata – rata (selama 10 tahun terakhir) adalah sekitar 10,6% dan, sebagaimana dibahas, volatilitas tahunan adalah 18,1%. Di sini kami melakukan percobaan hipotetis dengan memulai dengan $ 100 dan menahannya selama 10 tahun, tetapi kami mengekspos investasi setiap tahun pada hasil acak yang rata-rata 10,6% dengan deviasi standar 18,1%. Uji coba ini dilakukan 500 kali, sehingga disebut simulasi Monte Carlo. Hasil harga akhir dari 500 percobaan ditunjukkan di bawah ini:

Distribusi normal ditampilkan sebagai tampilan latar semata-mata untuk menyoroti hasil harga yang sangat tidak normal. Secara teknis, hasil harga akhir adalah lognormal (artinya jika sumbu x diubah menjadi log natural dari x, distribusinya akan terlihat lebih normal). Intinya adalah bahwa beberapa hasil harga jauh ke kanan: dari 500 percobaan, enam hasil menghasilkan hasil akhir periode $ 700! Beberapa hasil yang berharga ini berhasil menghasilkan rata-rata lebih dari 20%, setiap tahun, selama 10 tahun. Di sisi kiri, karena saldo yang menurun mengurangi efek kumulatif persentase kerugian, kami hanya mendapatkan beberapa hasil akhir yang kurang dari $ 50. Untuk meringkas ide yang sulit, kita dapat mengatakan bahwa pengembalian interval — dinyatakan dalam persentase – didistribusikan secara normal, tetapi hasil harga akhir didistribusikan secara log-normal.

Akhirnya, temuan lain dari uji coba kami konsisten dengan “efek erosi” volatilitas: jika investasi Anda menghasilkan rata-rata persis setiap tahun, Anda akan menahan sekitar $ 273 di akhir (10,6% ditambah selama 10 tahun). Tetapi dalam percobaan ini, keuntungan yang kami harapkan secara keseluruhan mendekati $ 250. Dengan kata lain, perolehan tahunan rata-rata (aritmatika) adalah 10,6%, tetapi perolehan kumulatif (geometris) lebih kecil.

Penting untuk diingat bahwa simulasi kami mengasumsikan perjalanan acak: ini mengasumsikan bahwa pengembalian dari satu periode ke periode berikutnya benar-benar independen. Kami belum membuktikannya dengan cara apa pun, dan itu bukan asumsi yang sepele. Jika Anda yakin pengembalian mengikuti tren, secara teknis Anda mengatakan bahwa mereka menunjukkan korelasi serial yang positif. Jika Anda pikir mereka kembali ke mean, maka secara teknis Anda mengatakan mereka menunjukkan korelasi serial negatif. Tidak ada pendirian yang konsisten dengan independensi.

Intinya Volatilitas adalah deviasi standar pengembalian tahunan. Dalam kerangka teori tradisional, ini tidak hanya mengukur risiko, tetapi mempengaruhi ekspektasi pengembalian jangka panjang (multi-periode). Dengan demikian, ia meminta kita untuk menerima asumsi meragukan bahwa pengembalian interval didistribusikan secara normal dan independen. Jika asumsi ini benar, volatilitas tinggi adalah pedang bermata dua: ini mengikis pengembalian jangka panjang yang Anda harapkan (ini mengurangi rata-rata aritmatika ke rata-rata geometris), tetapi juga memberi Anda lebih banyak peluang untuk membuat beberapa keuntungan besar.