Taruhan lebih pintar dengan simulasi Monte Carlo

Beberapa Distribusi Probabilitas yang Sering Digunakan di MCS

Distribusi Normal / Gaussian  – Distribusi kontinu diterapkan dalam situasi di mana mean dan deviasi standar diberikan dan mean mewakili nilai variabel yang paling mungkin. Ini simetris di sekitar mean dan tidak dibatasi.

Distribusi Lognormal  – Distribusi berkelanjutan ditentukan dengan mean dan deviasi standar. Ini sesuai untuk variabel mulai dari nol hingga tak terbatas, dengan kemiringan positifdan dengan logaritma natural terdistribusi normal.

Distribusi Segitiga  – Distribusi berkelanjutan dengan nilai minimum dan maksimum tetap. Itu dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum dan dapat berupa simetris (nilai yang paling mungkin = mean = median) atau asimetris.

Distribusi Seragam  – Distribusi berkelanjutan yang dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum yang diketahui. Berbeda dengan distribusi segitiga, kemungkinan kemunculan nilai antara minimum dan maksimum adalah sama.

Distribusi Eksponensial  – Distribusi kontinu yang digunakan untuk menggambarkan waktu antara kejadian independen, asalkan laju kejadian diketahui.

Matematika di Balik MCS

Pertimbangkan bahwa kita memiliki fungsi bernilai riil g (X) dengan fungsi frekuensi probabilitas P (x) (jika X diskrit), atau fungsi kepadatan probabilitas f (x) (jika X kontinu). Kemudian kita dapat menentukan nilai yang diharapkan dari g (X) masing-masing dalam istilah diskrit dan kontinu:

0\text{ and} \sum^{+\infty}_{ -\infty}P(x)=1\\&E(g(X))=\int^{+\infty}_{ -\infty}g(x)f(x)\,dx,\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ where }f(x)>0\text{ and }\int^{+\infty}_{ -\infty}f(x)\,dx=1\\&\text{Next, make $n$ random drawings of $X (x_1,\ldots,x_n)$, called}\\&\text{trial runs or simulation runs, calculate $g(x_1),\ldots,g(x_n)$}\\&\text{and find the mean of $g(x)$ of the sample:}\end{aligned}”>E(g(X))=∑-∞+∞g(x)P.(x), where P.(x)>0 and∑-∞+∞P.(x)=1E(g(X))=∫-∞+∞g(x)f(x)dx, where f(x)>0 and ∫-∞+∞f(x)dx=1Next, make  random drawings of , callednX(x1,…,xn)trial runs or simulation runs, calculate g(x1),…,g(xn)and find the mean of  of the sample:g(x)\ begin {aligned} & E (g (X)) = \ sum ^ {+ \ infty} _ { – \ infty} g (x) P (x), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ teks {di mana} P (x)> 0 \ teks {dan} \ sum ^ {+ \ infty} _ { – \ infty} P (x) = 1 \\ & E ​​(g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ { – \ infty} g (x) f (x) \, dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {di mana} f (x)> 0 \ text {dan} \ int ^ {+ \ infty} _ { – \ infty} f (x) \, dx = 1 \\ & \ text {Selanjutnya, buat $ n $ gambar acak $ X (x_1, \ ldots, x_n) $, dipanggil} \\ & \ text {uji coba atau simulasi, hitung $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \\ & \ text {dan temukan mean dari $ g (x) $ sampel:} \ end {aligned} orang E(g(X))=-∞∑+∞ orang g(x)P(x), dimana  P(x)>0 dan-∞∑+∞ orang P(x)=1E(g(X))=∫-∞+∞ orang g(x)f(x)dx, dimana  f(x)>0 dan ∫-∞+∞ orang f(x)dx=1Selanjutnya, buat n gambar acak X(x1 orang ,…,xn orang ), dipanggiluji coba atau simulasi, hitung g(x1 orang ),…,g(xn orang )dan temukan mean dari g(x) sampel: orang 

gnμ(x)=1n∑saya=1ng(xsaya), which represents the final simulatedvalue of E(g(X)).Therefore gnμ(X)=1n∑saya=1ng(X) will be the Monte Carloestimator of E(g(X)).As n→∞,gnμ(X)→E(g(X)),thus we are now able tocompute the dispersion around the estimated mean withthe unbiased variance of gnμ(X):V.Sebuahr(gnμ(X))=1n-1∑saya=1n(g(xsaya)-gnμ(x))2.\ begin {aligned} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} \ sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {yang mewakili simulasi akhir} \\ & \ text { nilai} E (g (X)). \\\\ & \ text {Karenanya} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} \ sum ^ n_ {i = 1} g (X) \ text {akan menjadi Monte Carlo} \\ & \ text {penaksir} E (g (X)). \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) \ ke E (g (X)), \ text {sehingga kita sekarang dapat} \\ & \ text {menghitung dispersi di sekitar perkiraan rata-rata dengan} \\ & \ text {varian yang tidak bias dari} g ^ \ mu_n ( X) \ teks {:} \\ & Var (g ^ \ mu_n (X)) = \ frac {1} {n-1} \ sum ^ n_ {i = 1} (g (x_i) -g ^ \ mu_n ( x)) ^ 2. \ end {rata} orang gnμ orang (x)=n

Contoh Sederhana

Bagaimana ketidakpastian harga unit, penjualan unit dan biaya variabel mempengaruhi EBITD ?

Hak Cipta Unit Penjualan) – ( Biaya Variabel + Biaya Tetap )

Mari kita jelaskan ketidakpastian dalam input – harga unit, penjualan unit dan biaya variabel – menggunakan distribusi segitiga, yang ditentukan oleh nilai minimum dan maksimum masing-masing input dari tabel.

hak cipta

hak cipta

hak cipta

hak cipta

hak cipta

Bagan Sensitivitas

Sebuah sensitivitas grafik dapat sangat berguna ketika datang ke menganalisis pengaruh input pada output. Apa yang dikatakan adalah bahwa penjualan unit menyumbang 62% dari varian dalam simulasi EBITD, biaya variabel untuk 28,6% dan harga unit untuk 9,4%. Korelasi antara penjualan unit dan EBITD dan antara harga unit dan EBITD adalah positif atau peningkatan penjualan unit atau harga unit akan menyebabkan peningkatan EBITD. Biaya variabel dan EBITD, di sisi lain, berkorelasi negatif, dan dengan menurunkan biaya variabel kami akan meningkatkan EBITD.

hak cipta

Berhati-hatilah karena menentukan ketidakpastian nilai input dengan distribusi probabilitas yang tidak sesuai dengan yang sebenarnya dan pengambilan sampel darinya akan memberikan hasil yang salah. Selain itu, asumsi bahwa variabel input tidak bergantung mungkin tidak valid. Hasil yang menyesatkan mungkin berasal dari masukan yang saling eksklusif atau jika ditemukan korelasi yang signifikan antara dua atau lebih distribusi masukan.

Garis bawah

Teknik MCS sangat mudah dan fleksibel. Ini tidak dapat menghapus ketidakpastian dan risiko, tetapi dapat membuatnya lebih mudah dipahami dengan memberikan karakteristik probabilistik pada input dan output model. Ini bisa sangat berguna untuk menentukan berbagai risiko dan faktor yang memengaruhi variabel yang diramalkan dan, oleh karena itu, dapat mengarah pada prediksi yang lebih akurat. Perhatikan juga bahwa jumlah uji coba tidak boleh terlalu kecil, karena mungkin tidak cukup untuk mensimulasikan model, menyebabkan pengelompokan nilai terjadi.