Optimalkan Portofolio Anda Menggunakan Distribusi Normal

The distribusi normal  adalah distribusi probabilitas yang plot semua nilai-nilai secara simetris dengan sebagian besar hasil terletak di sekitar probabilitas ini berarti.

Apa Optimalkan Portofolio Anda Menggunakan Distribusi Normal?

Kumpulan data (seperti tinggi 100 manusia, nilai yang diperoleh oleh 45 siswa dalam satu kelas, dll.) Cenderung memiliki banyak nilai pada titik data yang sama atau dalam rentang yang sama. Distribusi titik data ini disebut distribusi kurva normal atau lonceng .

Misalnya, dalam kelompok yang terdiri dari 100 individu, 10 mungkin tingginya di bawah 5 kaki, 65 mungkin berdiri antara 5 dan 5,5 kaki dan 25 mungkin di atas 5,5 kaki. Distribusi terikat-rentang ini dapat diplot sebagai berikut:

Demikian pula, titik data yang diplot dalam grafik untuk kumpulan data tertentu mungkin menyerupai jenis distribusi yang berbeda. Tiga yang paling umum adalah distribusi rata kiri, rata kanan dan campur aduk:


Perhatikan garis tren merah di masing-masing grafik ini. Ini secara kasar menunjukkan tren distribusi data. Yang pertama, “Distribusi Rata KIRI”, menunjukkan bahwa sebagian besar titik data berada pada kisaran yang lebih rendah. Pada grafik “Distribusi Rata KANAN” kedua, sebagian besar titik data berada di ujung rentang yang lebih tinggi, sedangkan yang terakhir, “Distribusi Acak”, mewakili kumpulan data campuran tanpa tren yang jelas.

Ada banyak kasus di mana distribusi titik data cenderung berada di sekitar nilai pusat, dan grafik tersebut menunjukkan distribusi normal yang sempurna — seimbang di kedua sisi, dengan jumlah titik data tertinggi terkonsentrasi di tengah.

Berikut ini kumpulan data yang sempurna dan terdistribusi normal:

Nilai sentral di sini adalah 50 (yang memiliki jumlah titik data paling banyak), dan distribusi berkurang secara seragam menuju nilai akhir ekstrem 0 dan 100 (yang memiliki jumlah titik data paling sedikit). The distribusi normal adalah simetris di sekitar nilai tengah dengan setengah nilai-nilai di setiap sisi.

Banyak contoh kehidupan nyata yang sesuai dengan distribusi kurva lonceng:


  • Lempar koin yang adil berkali-kali (katakan 100 kali atau lebih) dan Anda akan mendapatkan distribusi normal kepala dan ekor yang seimbang.
  • Lempar sepasang dadu yang adil berkali-kali (katakanlah 100 kali atau lebih) dan hasilnya akan seimbang, distribusi normal yang berpusat di sekitar angka 7 dan secara merata meruncing ke arah nilai ujung ekstrem 2 dan 12.
  • Tinggi individu dalam kelompok dengan ukuran dan nilai yang cukup besar yang diperoleh oleh orang-orang di kelas mengikuti pola distribusi normal.
  • Dalam keuangan, perubahan dalam  nilai-nilai log  dari forex suku, indeks harga, dan harga saham diasumsikan terdistribusi secara normal.

Risiko dan Pengembalian

Setiap investasi memiliki dua aspek: risiko dan pengembalian. Investor mencari risiko serendah mungkin untuk pengembalian setinggi mungkin. Distribusi normal mengkuantifikasi kedua aspek ini dengan mean untuk pengembalian dan deviasi standar untuk risiko.

Rata-rata atau Nilai yang Diharapkan

Perubahan rata-rata tertentu dari harga saham bisa menjadi 1,5% setiap hari — artinya, secara rata-rata, naik sebesar 1,5%. Nilai rata-rata atau nilai yang diharapkan yang menandakan pengembalian ini dapat diperoleh dengan menghitung rata-rata pada kumpulan data yang cukup besar yang berisi perubahan harga harian historis dari saham tersebut. Semakin tinggi mean, semakin baik.

Standar Deviasi

Simpangan baku menunjukkan jumlah di mana nilai rata-rata menyimpang dari rata-rata. Semakin tinggi standar deviasi, semakin berisiko investasinya, karena mengarah pada lebih banyak ketidakpastian.

Berikut adalah representasi grafis yang sama:

Oleh karena itu, representasi grafis dari distribusi normal melalui mean dan deviasi standarnya memungkinkan representasi pengembalian dan risiko dalam kisaran yang ditentukan dengan jelas.

Ini membantu untuk mengetahui (dan yakin dengan kepastian) bahwa jika beberapa kumpulan data mengikuti pola distribusi normal, artinya akan memungkinkan kita untuk mengetahui pengembalian yang diharapkan, dan deviasi standarnya akan memungkinkan kita untuk mengetahui bahwa sekitar 68% dari nilai akan berada dalam 1 deviasi standar, 95% dalam 2 deviasi standar dan 99% nilai akan berada dalam 3 deviasi standar. Kumpulan data yang memiliki rata-rata 1,5 dan deviasi standar 1 jauh lebih berisiko daripada kumpulan data lain yang memiliki rata-rata 1,5 dan deviasi standar 0,1.

Mengetahui nilai-nilai ini untuk setiap aset yang dipilih (yaitu saham, obligasi, dan dana) akan membuat investor sadar akan pengembalian dan risiko yang diharapkan. 

Sangat mudah untuk menerapkan konsep ini dan mewakili risiko dan laba atas satu saham, obligasi, atau dana. Tetapi bisakah ini diperluas ke portofolio berbagai aset?

Individu mulai berdagang dengan membeli satu saham atau obligasi atau berinvestasi di reksa dana. Secara bertahap, mereka cenderung meningkatkan kepemilikan mereka dan membeli banyak saham, dana, atau aset lain, sehingga menciptakan portofolio. Dalam skenario inkremental ini, individu membangun portofolionya tanpa strategi atau banyak pemikiran sebelumnya. Manajer dana, pedagang, dan pembuat pasar profesional mengikuti metode sistematis untuk membangun portofolio mereka menggunakan pendekatan matematika yang disebut  teori portofolio modern  (MPT) yang didasarkan pada konsep “distribusi normal”.

Teori Portofolio Modern

Teori portofolio modern (MPT) menawarkan pendekatan matematika sistematis yang bertujuan untuk memaksimalkan pengembalian yang diharapkan portofolio  untuk sejumlah risiko portofolio dengan memilih proporsi berbagai aset. Bergantian, itu juga menawarkan untuk meminimalkan risiko untuk tingkat pengembalian yang diharapkan tertentu.

Untuk mencapai tujuan ini, aset yang akan dimasukkan ke dalam portofolio tidak boleh dipilih hanya berdasarkan prestasi masing-masing, melainkan pada bagaimana kinerja masing-masing aset relatif terhadap aset lain dalam portofolio. 

Singkatnya, MPT mendefinisikan cara terbaik mencapai diversifikasi portofolio untuk hasil terbaik: pengembalian maksimum untuk tingkat risiko yang dapat diterima atau risiko minimal untuk tingkat pengembalian yang diinginkan.

Balok Penyusun

MPT adalah konsep revolusioner ketika diperkenalkan sehingga penemunya memenangkan Hadiah Noble. Teori ini berhasil memberikan rumus matematika untuk memandu diversifikasi  dalam berinvestasi.

Diversifikasi adalah teknik manajemen risiko, yang menghilangkan risiko “semua telur dalam satu keranjang” dengan berinvestasi di saham, sektor, atau kelas aset yang tidak berkorelasi. Idealnya, kinerja positif suatu aset dalam portofolio akan membatalkan kinerja negatif aset lainnya.

Untuk mengambil pengembalian ratarata portofolio yang memiliki n aset berbeda, kombinasi proporsi tertimbang dari pengembalian aset konstituen dihitung.

Karena sifat penghitungan statistik dan distribusi normal, keseluruhan pengembalian portofolio (R p ) dihitung sebagai:

Rp=∑wsayaRsayaR_p = \ jumlah {w_iR_i}Rp orang nya .=∑wsaya orang nya .Rsaya orang nya .

Jumlahnya (∑), dimana w i adalah bobot proporsional dari aset i dalam portfolio, R i adalah return (mean) dari aset i.

Risiko portofolio (atau deviasi standar) adalah fungsi dari korelasi aset yang disertakan, untuk semua pasangan aset (sehubungan dengan satu sama lain dalam pasangan).

Karena sifat penghitungan statistik dan distribusi normal, keseluruhan risiko portofolio (Std-dev) p dihitung sebagai:

(Std-dev)p=sqrt
orang nya .(Std-dev)p orang nya .=sqrt[saya∑ orang nya .j∑ orang nya .wsaya orang nya .wj orang nya .(std-dev)saya orang nya .(std-dev)j orang nya .(cor-cofij orang nya .)] orang nya .

Di sini, cor-cof adalah koefisien korelasi antara pengembalian aset i dan j, dan akar kuadrat adalah.

Ini menangani kinerja relatif masing-masing aset terhadap aset lainnya.

Meskipun ini tampak kompleks secara matematis, konsep sederhana yang diterapkan di sini tidak hanya mencakup deviasi standar aset individu, tetapi juga yang terkait dengan satu sama lain.

Contoh yang baik tersedia di sini dari University of Washington.

Contoh Cepat MPT

Sebagai eksperimen pemikiran, mari kita bayangkan kita adalah seorang manajer portofolio yang telah diberi modal dan diberi tugas dengan berapa besar modal yang harus dialokasikan ke dua aset yang tersedia (A & B) sehingga pengembalian yang diharapkan dapat dimaksimalkan dan risiko diturunkan.

Kami juga memiliki nilai-nilai berikut yang tersedia:

R a = 0,175

R b = 0,055

(Std-dev) a = 0,258

(Std-dev) b = 0,115

(Std-dev) ab = -0,004875

(Kor-cof) ab = -0.164

Dimulai dengan alokasi 50-50 yang sama untuk setiap aset A & B, R p dihitung menjadi 0,115 dan (Std-dev) p menjadi 0,1323. Perbandingan sederhana memberi tahu kita bahwa untuk 2 portofolio aset ini, pengembalian serta risiko berada di tengah-tengah antara nilai individu dari masing-masing aset.

Namun, tujuan kami adalah untuk meningkatkan pengembalian portofolio melebihi rata-rata aset individu dan mengurangi risiko, sehingga lebih rendah dari aset individu.

Sekarang mari kita ambil posisi alokasi modal 1,5 di aset A, dan posisi alokasi modal -0,5 di aset B. (Alokasi modal negatif berarti menyingkat stok dan modal yang diterima digunakan untuk membeli surplus aset lain dengan alokasi modal positif. Di Dengan kata lain, kita mempersingkat saham B sebesar 0,5 kali modal dan menggunakan uang itu untuk membeli saham A senilai 1,5 kali modal.)

Menggunakan nilai-nilai ini, kami mendapatkan R p sebagai 0,1604 dan (Std-dev) p sebagai 0,4005.

Demikian pula, kita dapat terus menggunakan bobot alokasi yang berbeda untuk aset A & B, dan mendapatkan set yang berbeda dari Rp dan (Std-dev) p. Berdasarkan pengembalian yang diinginkan (Rp), seseorang dapat memilih tingkat risiko yang paling dapat diterima (std-dev) p. Bergantian, untuk tingkat risiko yang diinginkan, seseorang dapat memilih pengembalian portofolio terbaik yang tersedia. Either way, melalui model matematika teori portofolio, adalah mungkin untuk memenuhi tujuan menciptakan portofolio yang efisien dengan kombinasi risiko dan pengembalian yang diinginkan.

Penggunaan perkakas otomatis memungkinkan seseorang dengan mudah dan lancar mendeteksi proporsi alokasi terbaik dengan mudah, tanpa perlu perhitungan manual yang panjang.

Garis batas efisien ,  Model Penetapan Harga Aset Modal (CAPM) dan penetapan harga aset menggunakan MPT juga berevolusi dari model distribusi normal yang sama dan merupakan perluasan dari MPT.

Tantangan MPT (dan Distribusi Normal yang Mendasari)

Sayangnya, tidak ada model matematika yang sempurna dan masing-masing memiliki kekurangan dan keterbatasan.

Asumsi dasar bahwa pengembalian harga saham mengikuti distribusi normal itu sendiri dipertanyakan berkali-kali. Terdapat bukti empiris yang memadai tentang kejadian di mana nilai gagal untuk mematuhi distribusi normal yang diasumsikan. Mendasarkan model yang kompleks pada asumsi semacam itu dapat menghasilkan hasil dengan penyimpangan yang besar. 

Lebih jauh ke MPT, perhitungan dan asumsi tentang koefisien korelasi dan kovarian tetap tetap (berdasarkan data historis) mungkin tidak selalu berlaku untuk nilai yang diharapkan di masa depan. Sebagai contoh, pasar obligasi dan saham menunjukkan korelasi yang sempurna di pasar Inggris dari periode 2001 hingga 2004, dimana return dari kedua aset tersebut turun secara bersamaan. Pada kenyataannya, kebalikannya telah diamati selama periode sejarah yang panjang sebelum tahun 2001.

Perilaku investor tidak dipertimbangkan dalam model matematika ini. Pajak dan biaya transaksi diabaikan, meskipun alokasi modal pecahan dan kemungkinan aset korslet diasumsikan.

Pada kenyataannya, tidak satu pun dari asumsi ini yang mungkin benar, yang berarti imbal hasil keuangan yang direalisasikan mungkin berbeda secara signifikan dari laba yang diharapkan.

Garis bawah

Model matematika menyediakan mekanisme yang baik untuk mengukur beberapa variabel dengan bilangan tunggal yang dapat dilacak. Namun karena keterbatasan asumsi, model mungkin gagal.

Distribusi normal, yang menjadi dasar teori portofolio, mungkin tidak berlaku untuk saham dan pola harga aset keuangan lainnya. Teori portofolio sendiri memiliki banyak asumsi yang harus diperiksa secara kritis, sebelum membuat keputusan keuangan yang penting.