Cara Membangun Model Penilaian Seperti Black-Scholes

Menilai opsi bisa menjadi bisnis yang rumit. Pertimbangkan skenario berikut: Pada Januari 2015,  saham call option  pada saham IBM dengan  ATM strike price  dari $ 155, mengharapkan untuk mendapatkan keuntungan dari hasil persentase yang tinggi, berdasarkan pada pilihan biaya kecil ( option premium ), dibandingkan dengan pembelian saham dengan harga beli yang tinggi.

Saat ini, beberapa metode siap pakai yang berbeda tersedia untuk opsi nilai — termasuk model  Black-Scholes  dan  model pohon binomial — yang dapat memberikan jawaban cepat. Tapi apa faktor yang mendasari dan konsep pendorong untuk sampai pada model penilaian seperti itu? Bisakah sesuatu yang serupa disiapkan, berdasarkan konsep model ini?

Di sini, kami membahas blok bangunan, konsep yang mendasari dan faktor-faktor yang dapat digunakan sebagai kerangka kerja untuk membangun model penilaian untuk aset seperti opsi, memberikan perbandingan berdampingan dengan asal-usul Black-Scholes (BS ) model.

Artikel ini tidak bermaksud untuk menantang asumsi atau faktor lain dari model BS (yang merupakan topik yang berbeda sama sekali); sebaliknya, ini bertujuan untuk menjelaskan konsep yang mendasari model Black-Scholes, bersama dengan gagasan pengembangan model penilaian.

Apa Cara Membangun Model Penilaian Seperti Black-Scholes?

Sebelum Black-Scholes, Capital Asset Pricing Model (CAPM) berbasis ekuilibrium telah diikuti secara luas. Pengembalian dan risiko diseimbangkan satu sama lain, berdasarkan preferensi investor, yaitu investor yang mengambil risiko tinggi diharapkan diberi kompensasi (potensi) pengembalian yang lebih tinggi dalam proporsi yang sama.

Model BS menemukan akarnya di CAPM.Menurut Fischer Black: “Saya menerapkan Model Penetapan Harga Aset Modal setiap saat dalam kehidupan waran, untuk setiap kemungkinan harga saham dan nilai waran.”Sayangnya, CAPM tidak dapat memenuhi persyaratan harga waran (opsi).

Black-Scholes tetap menjadi model pertama, berdasarkan konsep arbitrase, membuat perubahan paradigma dari model berbasis risiko (seperti CAPM). Pengembangan model BS baru ini menggantikan konsep pengembalian saham CAPM dengan pengakuan fakta bahwa posisi lindung nilai yang sempurna akan mendapatkan tingkat bebas risiko. Ini mengambil risiko dan variasi pengembalian, dan menetapkan konsep arbitrase di mana penilaian dilakukan pada asumsi konsep netral risiko — posisi lindung nilai (bebas risiko) harus mengarah pada tingkat pengembalian bebas risiko .

Perkembangan Black-Scholes

Mari kita mulai dengan menetapkan masalah, mengukurnya, dan mengembangkan kerangka kerja untuk solusinya. Kami melanjutkan dengan contoh kami dalam menilai opsi panggilan ATM di IBM dengan harga kesepakatan $ 155 dengan satu tahun kedaluwarsa.

Berdasarkan definisi dasar call option , kecuali harga saham mencapai tingkat strike price, bayarannya tetap nol. Setelah level itu, bayarannya meningkat secara linier (yaitu, kenaikan satu dolar pada dasarnya akan memberikan imbalan satu dolar dari opsi beli).

Dengan asumsi bahwa pembeli dan penjual menyetujui penilaian wajar (termasuk harga nol), harga wajar teoritis untuk opsi beli ini adalah:

  • Harga opsi beli = $ 0, jika mendasari <pemogokan (grafik merah)
  • Harga opsi beli = (mendasari — teguran), jika mendasari> = teguran (grafik biru)

Ini mewakili nilai intrinsik opsi dan terlihat sempurna dari sudut pandang pembeli opsi panggilan. Di wilayah merah, baik pembeli maupun penjual memiliki penilaian yang adil (harga nol untuk penjual, pembayaran nol kepada pembeli). Namun, tantangan penilaian dimulai dengan wilayah biru, karena pembeli memiliki keuntungan dari hasil yang positif, sementara penjual menderita kerugian (asalkan harga dasar berada di atas harga kesepakatan). Di sinilah pembeli memiliki keunggulan dibandingkan penjual dengan harga nol. Penetapan harga harus bukan nol untuk mengkompensasi penjual atas risiko yang dia ambil.

Dalam kasus sebelumnya (grafik merah), secara teoritis, harga nol diterima oleh penjual dan tidak ada potensi pembayaran bagi pembeli (adil untuk keduanya). Dalam kasus terakhir (grafik biru), perbedaan antara pemogokan dan pemogokan harus dibayarkan oleh penjual kepada pembeli. Risiko penjual berlangsung selama satu tahun penuh. Misalnya, harga saham pokok dapat bergerak sangat tinggi (katakanlah $ 200 dalam waktu empat bulan) dan penjual diharuskan membayar selisih $ 45 kepada pembeli.

Jadi, intinya adalah:

  1. Akankah harga persilangan yang mendasari harga kesepakatan?
  2. Jika ya, seberapa tinggi harga acuan (karena itu akan menentukan hasil bagi pembeli)?

Hal ini menunjukkan risiko besar yang diambil oleh penjual, yang mengarah pada pertanyaan — mengapa seseorang menjual panggilan seperti itu, jika mereka tidak mendapatkan apa pun untuk risiko yang mereka ambil?

Tujuan kami adalah untuk mendapatkan satu harga yang harus ditagih penjual kepada pembeli, yang dapat mengkompensasinya atas keseluruhan risiko yang dia ambil selama setahun — baik di wilayah pembayaran nol (merah) dan wilayah pembayaran linier (biru). Harga harus adil dan dapat diterima oleh pembeli dan penjual. Jika tidak, maka pihak yang dirugikan dalam hal pembayaran atau penerimaan harga yang tidak wajar tidak akan ikut serta dalam pasar, sehingga merugikan tujuan bisnis perdagangan. Model Black-Scholes bertujuan untuk menetapkan harga wajar ini dengan mempertimbangkan variasi harga saham yang konstan, nilai waktu uang , harga kesepakatan opsi dan waktu kedaluwarsa opsi. Mirip dengan model BS, mari kita lihat bagaimana kita dapat melakukan pendekatan untuk mengevaluasi ini untuk contoh kita menggunakan metode kita sendiri.

Bagaimana Mengevaluasi Nilai Intrinsik Di Wilayah Biru?

Beberapa metode tersedia untuk memprediksi pergerakan harga yang diharapkan di masa depan selama jangka waktu tertentu:

  • Seseorang dapat menganalisis pergerakan harga serupa dengan durasi yang sama di masa lalu.Harga penutupan IBM historis menunjukkan bahwa dalam satu tahun terakhir (2 Januari 2014 hingga 31 Desember 2014), harga turun menjadi $ 160,44 dari $ 185,53, turun 13,5%.  Bisakah kita menyimpulkan pergerakan harga -13,5% untuk IBM?
  • Pemeriksaan rinci lebih lanjut menunjukkan bahwa itu menyentuh tertinggi tahunan $ 199,21 (pada 10 April 2014) dan terendah tahunan $ 150,5 (pada 16 Desember 2014). Berdasarkan ini pada hari awal, 2 Januari 2014, dan harga penutupan $ 185,53, perubahan persentase bervariasi dari + 7,37% hingga -18,88%. Sekarang, kisaran variasi terlihat jauh lebih luas dibandingkan dengan penurunan yang dihitung sebelumnya sebesar 13,5%.

Analisis dan observasi serupa terhadap data historis dapat dilakukan. Untuk melanjutkan pengembangan model penetapan harga kita, mari kita asumsikan metodologi sederhana ini untuk mengukur variasi harga di masa mendatang.

Asumsikan bahwa IBM naik 10% setiap tahun (berdasarkan data historis 20 tahun terakhir). Statistik dasar menunjukkan bahwa probabilitas perubahan harga saham IBM sekitar + 10% akan jauh lebih tinggi daripada probabilitas harga IBM naik 20% atau turun 30%, dengan asumsi bahwa pola historis berulang. Mengumpulkan poin data historis yang serupa dengan nilai probabilitas, pengembalian yang diharapkan secara keseluruhan atas harga saham IBM dalam jangka waktu satu tahun dapat dihitung sebagai ratarata tertimbang dari probabilitas dan pengembalian terkait. Misalnya, anggaplah bahwa data harga historis IBM menunjukkan pergerakan berikut:

  • (-10%) dalam 25% kali,
  • + 10% dalam 35% kali,
  • + 15% dalam 20% kali,
  • + 20%  dalam 10% kali,
  • + 25% dalam 5% kali dan
  • (-15%) dalam 5% kali.

Karenanya, rata-rata tertimbang (atau Nilai yang Diharapkan) menjadi:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6,5%

Artinya, secara rata-rata, harga saham IBM diharapkan kembali + 6,5% dalam waktu satu tahun untuk setiap dolar. Jika seseorang membeli saham IBM dengan jangka waktu satu tahun dan harga beli $ 155, seseorang dapat mengharapkan pengembalian bersih 155 * 6,5% = $ 10,075.

Namun, ini untuk pengembalian saham. Kita perlu mencari pengembalian yang diharapkan serupa untuk opsi panggilan.

Berdasarkan hasil nol dari panggilan di bawah harga kesepakatan ($ 155 – panggilan ATM), semua gerakan negatif akan menghasilkan nol, sementara semua gerakan positif di atas harga kesepakatan akan menghasilkan hasil yang setara. Hasil yang diharapkan untuk opsi panggilan akan menjadi:

 ( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9,75%

Artinya, untuk setiap $ 100 yang diinvestasikan dalam membeli opsi ini, seseorang dapat mengharapkan $ 9,75 (berdasarkan asumsi di atas).

Namun, ini masih terbatas pada penilaian wajar dari jumlah intrinsik opsi dan tidak secara tepat menangkap risiko yang ditanggung oleh penjual opsi untuk ayunan tinggi yang dapat terjadi untuk sementara (dalam kasus tinggi dan rendah intrayear yang disebutkan di atas harga). Selain nilai intrinsik, berapa harga yang bisa disepakati oleh pembeli dan penjual, sehingga penjual mendapat kompensasi yang adil atas risiko yang dia ambil dalam jangka waktu satu tahun?

Ayunan ini dapat sangat bervariasi dan penjual mungkin memiliki interpretasi sendiri tentang seberapa besar dia ingin diberi kompensasi untuk itu. Model Black-Scholes mengasumsikan opsi tipe Eropa, yaitu tidak ada latihan sebelum tanggal kedaluwarsa. Dengan demikian, itu tetap tidak terpengaruh oleh perubahan harga menengah dan mendasarkan penilaiannya pada hari-hari perdagangan ujung ke ujung.

Dalam perdagangan hari nyata, volatilitas ini memainkan peran penting dalam menentukan harga opsi. Fungsi pembayaran biru yang biasa kita lihat sebenarnya adalah pembayaran pada tanggal kadaluwarsa. Secara realistis, harga opsi (grafik merah muda) selalu lebih tinggi daripada hasil (grafik biru), menunjukkan harga yang diambil oleh penjual untuk mengimbangi kemampuannya dalam mengambil risiko. Inilah sebabnya mengapa harga opsi juga dikenal sebagai opsi “premium” —yang pada dasarnya menunjukkan premi risiko .

Ini dapat dimasukkan dalam model penilaian kami, tergantung pada seberapa besar volatilitas yang diharapkan dalam harga saham dan berapa nilai yang diharapkan yang akan dihasilkan.

Model Black-Scholes melakukannya secara efisien (tentu saja, dalam asumsinya sendiri) sebagai berikut:

C=S