Menjelajahi rata-rata bergerak tertimbang secara eksponensial

Volatilitas adalah ukuran risiko yang paling umum, tetapi memiliki beberapa bentuk. Di artikel sebelumnya, kami menunjukkan cara menghitung volatilitas historis sederhana. Pada artikel ini, kami akan meningkatkan volatilitas sederhana dan membahas rata-rata bergerak tertimbang eksponensial (EWMA).

Apa Menjelajahi rata-rata bergerak tertimbang secara eksponensial?

Pertama, mari kita masukkan metrik ini ke dalam sedikit perspektif. Ada dua pendekatan luas: volatilitas historis dan tersirat (atau implisit). Pendekatan historis mengasumsikan bahwa masa lalu adalah prolog; kami mengukur sejarah dengan harapan itu bersifat prediktif. Di sisi lain, volatilitas yang tersirat mengabaikan sejarah; itu memecahkan volatilitas yang tersirat oleh harga pasar. Ia berharap pasar mengetahui yang terbaik dan bahwa harga pasar berisi, meskipun secara implisit, perkiraan konsensus volatilitas.

Jika kita fokus hanya pada tiga pendekatan historis (di kiri atas), keduanya memiliki dua langkah yang sama:

  1. Hitung rangkaian hasil periodik
  2. Terapkan skema pembobotan

Pertama, kami menghitung pengembalian berkala. Itu biasanya merupakan rangkaian pengembalian harian di mana setiap pengembalian dinyatakan dalam suku majemuk yang terus-menerus. Untuk setiap hari, kami mengambil log natural dari rasio harga saham (yaitu, harga hari ini dibagi harga kemarin, dan seterusnya).

usaya=lnssayassaya-1where:usaya=Return on day sayassaya=Stock price on day sayassaya-1=Stock price the day before day saya\ begin {aligned} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i – 1}} \\ & \ textbf {where:} \\ & u_i = \ text {Return on day} i \\ & s_i = \ text {Stock harga hari ini} i \\ & s_ {i – 1} = \ text {Harga saham sehari sebelum hari} i \\ \ end {aligned} orang usaya orang =lnsi-1 orang

Ini menghasilkan serangkaian pengembalian harian, dari u i ke u i-m, tergantung pada berapa hari (m = hari) yang kita ukur.

Itu membawa kita ke langkah kedua: Di sinilah ketiga pendekatan berbeda. Dalam artikel sebelumnya, kami menunjukkan bahwa di bawah beberapa penyederhanaan yang dapat diterima, varian sederhananya adalah rata-rata hasil kuadrat:

Variance=σn2=1m∑saya=1mun-12where:m=Number of days measuredn=Day sayau=Difference of return from average return\ begin {aligned} & \ text {Variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {di mana:} \\ & m = \ text {Jumlah hari yang diukur} \\ & n = \ text {Hari} i \\ & u = \ text {Selisih pengembalian dari rata-rata pengembalian} \\ \ end {rata} orang Perbedaan=σn2 orang =m

Perhatikan bahwa ini menjumlahkan setiap pengembalian periodik, lalu membagi total itu dengan jumlah hari atau pengamatan (m). Jadi, ini benar-benar hanya rata-rata dari pengembalian periodik kuadrat. Dengan kata lain, setiap pengembalian kuadrat diberi bobot yang sama. Jadi jika alfa (a) adalah faktor pembobotan (khususnya, a = 1 / m), varian sederhana terlihat seperti ini:

Peningkatan EWMA pada Varians Sederhana Kelemahan dari pendekatan ini adalah bahwa semua pengembalian mendapatkan bobot yang sama. Pengembalian kemarin (sangat baru) tidak memiliki pengaruh lebih pada varians daripada pengembalian bulan lalu. Masalah ini diperbaiki dengan menggunakan rata-rata bergerak tertimbang eksponensial (EWMA), di mana pengembalian yang lebih baru memiliki bobot yang lebih besar pada varians.

Rata-rata bergerak tertimbang eksponensial (EWMA) memperkenalkan lambda , yang disebut parameter penghalusan. Lambda harus kurang dari satu. Dalam kondisi tersebut, alih-alih bobot yang sama, setiap pengembalian kuadrat diberi bobot oleh pengali sebagai berikut:

Misalnya, RiskMetricsTM, sebuah risiko keuangan manajemen perusahaan, cenderung menggunakan lambda 0,94, atau 94%.  Dalam hal ini, pengembalian periodik kuadrat pertama (terbaru) dibobot dengan (1-0.94) (. 94) = 6%. Hasil kuadrat berikutnya hanyalah kelipatan lambda dari bobot sebelumnya; dalam hal ini 6% dikalikan dengan 94% = 5.64%. Dan bobot hari ketiga sebelumnya sama dengan (1-0.94) (0.94) = 5.30%.

Itulah arti dari “eksponensial” dalam EWMA: setiap bobot adalah pengali konstan (yaitu lambda, yang harus kurang dari satu) bobot hari sebelumnya. Ini memastikan varian yang berbobot atau bias terhadap data yang lebih baru. Perbedaan antara volatilitas sederhana dan EWMA untuk Google ditampilkan di bawah ini.

Volatilitas sederhana secara efektif membebani setiap pengembalian periodik sebesar 0,196% seperti yang ditunjukkan pada Kolom O (kami memiliki data harga saham harian selama dua tahun. Yaitu 509 pengembalian harian dan 1/509 = 0,196%). Tetapi perhatikan bahwa Kolom P memberikan bobot 6%, lalu 5,64%, lalu 5,3% dan seterusnya. Itulah satu-satunya perbedaan antara varian sederhana dan EWMA.

Ingat: setelah kita menjumlahkan seluruh rangkaian (di Kolom Q) kita memiliki varians, yang merupakan kuadrat dari simpangan baku. Jika kita menginginkan volatilitas, kita perlu mengingat untuk mengambil akar kuadrat dari varians itu.

Apa perbedaan volatilitas harian antara varians dan EWMA dalam kasus Google? Ini signifikan: Varians sederhana memberi kami volatilitas harian 2,4% tetapi EWMA memberikan volatilitas harian hanya 1,4% (lihat spreadsheet untuk detailnya). Rupanya, volatilitas Google mereda baru-baru ini; oleh karena itu, varian sederhana mungkin terlalu tinggi secara artifisial.

Varians Hari Ini Adalah Fungsi Varians Hari Sebelumnya

Anda akan melihat bahwa kami perlu menghitung rangkaian panjang bobot yang menurun secara eksponensial. Kami tidak akan menghitungnya di sini, tetapi salah satu fitur terbaik dari EWMA adalah bahwa seluruh rangkaian dengan mudah direduksi menjadi rumus rekursif:

σn2(EWMA)=λσn-12+(1-λ)un-12where:EWMA=Exponentially weighted moving averageσn2=Variance todayλ=Degree of weightingσn-12=Variance yesterdayun-12=Squared return yesterday\ begin {aligned} & \ sigma ^ 2_n (\ text {EWMA}) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n – 1} + (1 – \ lambda) u ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf { di mana:} \\ & \ text {EWMA} = \ text {Rata-rata bergerak berbobot eksponensial} \\ & \ sigma ^ 2_n = \ text {Varians hari ini} \\ & \ lambda = \ text {Derajat pembobotan} \\ & \ sigma ^ 2_ {n – 1} = \ text {Varians kemarin} \\ & u ^ 2_ {n – 1} = \ text {Squared return kemarin} \\ \ end {rata} orang σn2 orang (EWMA )=λσn-12 orang +(1-λ)un-12 orang dimana:EWMA=Rata-rata bergerak tertimbang secara eksponensialσn2 orang =Varians hari iniλ=Derajat pembobotanσn-12 orang =Varians kemarinun-12 orang =Pengembalian kuadrat kemarin orang 

Rekursif berarti referensi varian hari ini (yaitu fungsi dari) varian hari sebelumnya. Anda juga dapat menemukan rumus ini di spreadsheet, dan ini menghasilkan hasil yang sama persis dengan perhitungan tangan! Dikatakan: varians hari ini (di bawah EWMA) sama dengan varian kemarin (dibobot oleh lambda) ditambah pengembalian kuadrat kemarin (ditimbang dengan satu dikurangi lambda). Perhatikan bagaimana kita hanya menjumlahkan dua suku: varian tertimbang kemarin dan hasil kuadrat tertimbang kemarin.

Meski begitu, lambda adalah parameter penghalusan kami. Lambda yang lebih tinggi (misalnya, seperti RiskMetric’s 94%) menunjukkan peluruhan yang lebih lambat dalam rangkaian – secara relatif, kita akan memiliki lebih banyak titik data dalam rangkaian dan mereka akan “jatuh” lebih lambat. Di sisi lain, jika kita mengurangi lambda, kita menunjukkan peluruhan yang lebih tinggi: bobot jatuh lebih cepat dan, sebagai akibat langsung dari peluruhan cepat, lebih sedikit titik data yang digunakan. (Dalam spreadsheet, lambda adalah masukan, jadi Anda dapat bereksperimen dengan sensitivitasnya).

Ringkasan

Volatilitas adalah deviasi standar sesaat dari suatu saham dan metrik risiko yang paling umum. Itu juga merupakan akar kuadrat dari varians. Kita dapat mengukur varians secara historis atau implisit (volatilitas tersirat). Saat mengukur secara historis, metode termudah adalah varians sederhana. Namun kelemahan dengan varian sederhana adalah semua return mendapatkan bobot yang sama. Jadi, kami menghadapi trade-off klasik: kami selalu menginginkan lebih banyak data tetapi semakin banyak data yang kami miliki, semakin banyak perhitungan kami diencerkan oleh data yang jauh (kurang relevan). Rata-rata bergerak tertimbang eksponensial (Exponentially Weighted Moving Average / EWMA) meningkatkan varians sederhana dengan menetapkan bobot ke pengembalian periodik. Dengan melakukan ini, kita dapat menggunakan ukuran sampel yang besar tetapi juga memberikan bobot yang lebih besar untuk hasil yang lebih baru.