Ensiklopedia keuangan

Minat senyawa berkelanjutan

Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung atas pokok awal   dan juga atas bunga akumulasi dari deposito atau pinjaman periode sebelumnya. Pengaruh bunga majemuk bergantung pada frekuensi.

Asumsikan tingkat bunga tahunan sebesar 12%. Jika kita memulai tahun dengan $ 100 dan menggabungkan hanya sekali, pada akhir tahun, pokok pinjaman tumbuh menjadi $ 112 ($ 100 x 1,12 = $ 112). Jika kita menggandakan setiap bulan pada 1%, kita akan mendapatkan lebih dari $ 112 pada akhir tahun. Yaitu, $ 100 x 1,01 ^ 12 pada $ 112,68. (Ini lebih tinggi karena kami lebih sering berkumpul.)

Hasil majemuk terus menerus paling sering dari semuanya. Peracikan berkelanjutan adalah batas matematis yang dapat dicapai oleh bunga majemuk. Ini adalah kasus penggandaan yang ekstrim karena sebagian besar bunga dikumpulkan secara bulanan, triwulanan, atau setengah tahunan.

Apa Minat senyawa berkelanjutan?

Pertama, mari kita lihat imbal hasil setara obligasi (atau basis setara obligasi). Ini berarti bahwa jika obligasi menghasilkan 6% dalam basis setengah tahunan, imbal hasil setara obligasi adalah 12%.

Hasil setengah tahunan hanya digandakan. Hal ini berpotensi membingungkan karena imbal hasil efektif dari obligasi dengan imbal hasil setara obligasi 12% adalah 12,36% (yaitu, 1,06 ^ 2 = 1,1236). Menggandakan hasil tengah tahunan hanyalah konvensi penamaan obligasi. Oleh karena itu, jika kita membaca tentang obligasi 8% yang dimajemukkan setengah tahunan, kami menganggap ini mengacu pada hasil tengah tahunan 4%.

Tingkat Pengembalian Kuartalan, Bulanan, dan Harian

Sekarang, mari kita bahas frekuensi yang lebih tinggi. Kami masih mengasumsikan tingkat bunga pasar tahunan 12%. Di bawah konvensi penamaan obligasi, itu menyiratkan tarif majemuk setengah tahunan 6%. Sekarang kita dapat menyatakan suku bunga majemuk triwulanan sebagai fungsi dari suku bunga pasar.

Diketahui tarif pasar tahunan ( r), tarif majemuk triwulanan ( r q ) diberikan oleh:

rq=4
orang rq orang =4[(2

Jadi, untuk contoh kita, di mana tingkat pasar tahunan adalah 12%, tingkat gabungan kuartalan adalah 11,825%:

rq=4
orang rq orang =4[(2

Logika serupa berlaku untuk penggabungan bulanan. Suku bunga majemuk bulanan ( r m ) diberikan di sini sebagai fungsi dari suku bunga pasar tahunan ( r):

rm=12
rm orang orang =12[(2

Suku bunga majemuk harian ( d) sebagai fungsi suku bunga pasar ( r) diberikan oleh:

rd=360
rd orang orang =360[(2

Bagaimana Continuous Compounding Bekerja

Jika kita meningkatkan frekuensi gabungan hingga batasnya, kita akan terus menggabung. Meskipun hal ini mungkin tidak praktis, tingkat bunga majemuk yang terus menerus menawarkan properti yang sangat nyaman. Ternyata suku bunga majemuk terus menerus diberikan oleh:

rcHaintsayanuHaius=ln⁡(1+r)\ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + r) \\ \ end {aligned} orang rcontinuous orang =ln(1+r) orang 

Ln () adalah log natural dan dalam contoh kita, laju majemuk kontinyu adalah:

rcHaintsayanuHaius=ln⁡(1+0.12)=ln⁡(1.12)≅11.33%\ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) \ cong 11.33 \% \\ \ end {aligned} orang rcontinuous orang =ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33% orang 

Kami mendapatkan tempat yang sama dengan mengambil log alami dari rasio ini: nilai akhir dibagi dengan nilai awal.

rcHaintsayanuHaius=ln⁡(ValueEndValueStart)=ln⁡(112100)≅11.33%\ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ kiri (\ frac {112} {100} \ kanan) \ cong 11.33 \% \\ \ end {aligned} orang rcontinuous orang =ln(NilaiMulailah orang

Yang terakhir ini biasa terjadi saat menghitung pengembalian majemuk terus menerus untuk suatu saham. Misalnya, jika saham melonjak dari $ 10 satu hari menjadi $ 11 pada hari berikutnya, pengembalian harian majemuk terus menerus diberikan oleh:

rcHaintsayanuHaius=ln⁡(ValueEndValueStart)=ln⁡($11$10)≅9.53%\ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ kiri (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ kanan) \ cong 9.53 \% \\ \ end {aligned} orang rcontinuous orang =ln(NilaiMulailah orang

Apa hebatnya tingkat majemuk kontinu (atau pengembalian) yang akan kita nyatakan dengan r c ? Pertama, mudah untuk menskalakannya ke depan. Diketahui pokok (P), kekayaan akhir kita selama (n) tahun diberikan oleh:

w=P.ercn\ begin {aligned} & w = Pe ^ {r_c n} \\ \ end {aligned} orang w=Perc orang n orang 

Perhatikan bahwa  e  adalah fungsi eksponensial. Misalnya, jika kita mulai dengan $ 100 dan terus bertambah 8% selama tiga tahun, kekayaan akhir diberikan oleh:

w=$100e(0.08)(3)=$127.12\ begin {aligned} & w = \ $ 100e ^ {(0,08) (3)} = \ $ 127,12 \\ \ end {aligned} orang w=$100e(0.08)(3)=$127.12 orang 

Mendiskontokan ke nilai sekarang (PV) hanyalah penggabungan terbalik, sehingga nilai sekarang dari nilai masa depan (F) yang digabungkan terus menerus pada tingkat ( r c ) diberikan oleh:

PV of F received in (n) years=Fercn=Fe-rcn\ begin {aligned} & \ text {PV dari F diterima dalam (n) tahun} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ { -r_c n} \\ \ end {aligned} orang PV F diterima dalam (n) tahun=erc orang n

Misalnya, jika Anda akan menerima $ 100 dalam tiga tahun di bawah tarif berkelanjutan 6%, nilai saat ini diberikan oleh:

PV=Fe-rcn=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53\ begin {aligned} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0,06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0,18} \ cong \ $ 83,53 \\ \ end {aligned} orang PV=Fe-rc orang n=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53 orang 

Penskalaan Selama Beberapa Periode

Properti nyaman dari pengembalian majemuk berkelanjutan adalah bahwa ia menskalakan selama beberapa periode. Jika return periode pertama 4% dan return periode kedua 3%, maka return dua periode adalah 7%. Pertimbangkan kita memulai tahun dengan $ 100, yang tumbuh menjadi $ 120 pada akhir tahun pertama, kemudian $ 150 pada akhir tahun kedua. Pengembalian majemuk terus menerus masing-masing adalah 18,23% dan 22,31%.

ln⁡(120100)≅18.23%\ begin {aligned} & \ ln \ left (\ frac {120} {100} \ right) \ cong 18.23 \% \\ \ end {aligned} orang ln(100

ln⁡(150120)≅22.31%\ begin {aligned} & \ ln \ left (\ frac {150} {120} \ right) \ cong 22.31 \% \\ \ end {aligned} orang ln(120

Jika kita menambahkan ini bersama-sama, kita mendapatkan 40,55%. Ini adalah pengembalian dua periode:

ln⁡(150100)≅40.55%\ begin {aligned} & \ ln \ left (\ frac {150} {100} \ right) \ cong 40.55 \% \\ \ end {aligned} orang ln(100

Secara teknis, pengembalian terus menerus adalah waktu yang konsisten. Konsistensi waktu adalah variabel acak terdistribusi normal , kita ingin variabel acak beberapa periode terdistribusi normal juga. Lebih lanjut, pengembalian majemuk berkelanjutan multi-periode didistribusikan secara normal (tidak seperti, katakanlah, persentase pengembalian sederhana).

Garis bawah

Kita dapat merumuskan kembali suku bunga tahunan menjadi suku bunga setengah tahunan, triwulanan, bulanan, atau harian (atau tingkat pengembalian). Penggabungan yang paling sering adalah penggabungan berkelanjutan, yang mengharuskan kita untuk menggunakan log natural dan fungsi eksponensial, yang umumnya digunakan di bidang keuangan karena sifatnya yang diinginkan — ini berskala dengan mudah selama beberapa periode dan konsisten waktu.